אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי
אינטרפולציה וקירוב פולינומיאלי
פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק
ברוכים הבאים ללימוד מעמיק ומדורג. פרק זה מעניק ליווי שלב-אחר-שלב, דוגמאות מודרכות ותרגול יישומי מקיף להבטחת שליטה מלאה בחומר.
מטרות למידה מרכזיות:
1. פולינום האינטרפולציה של לגראנז'
אינטרפולציה פולינומיאלית היא אחד הכלים היסודיים ביותר בעיבוד נתונים נומרי ובהנדסה. כאשר בידינו אוסף של מדידות ניסיוניות דיסקרטיות, אנו מחפשים פונקציה רציפה וחלקה שתעבור במדויק דרך כל הנקודות הידועות. משפט היחידות מבטיח שעבור n+1 נקודות שונות קיים פולינום יחיד ממעלה לכל היותר n העובר דרכן.
צורת לגראנז' מציגה את פולינום האינטרפולציה כסכום משוקלל של פולינומי בסיס יסודיים המקבלים ערך 1 בנקודה אחת ומתאפסים בכל האחרות.
תרגיל 1
רמת קושי: בסיסימצאו את פולינום האינטרפולציה העובר דרך שלוש הנקודות (0, 1), (1, 3), (2, 7) באמצעות בסיסי לגראנז', וחשבו את ערכו בנקודה x=1.5:
שלב 1: נחשב את פולינומי הבסיס של לגראנז' L0, L1, L2.
שלב 2: L0(x) = ((x - 1)(x - 2)) / ((0 - 1)(0 - 2)) = (x^2 - 3x + 2) / 2.
שלב 3: L1(x) = ((x - 0)(x - 2)) / ((1 - 0)(1 - 2)) = (x^2 - 2x) / (-1) = -x^2 + 2x.
שלב 4: L2(x) = ((x - 0)(x - 1)) / ((2 - 0)(2 - 1)) = (x^2 - x) / 2.
שלב 5: נרכיב את הפולינום: P2(x) = 1 L0(x) + 3 L1(x) + 7 L2(x) = 0.5(x^2 - 3x + 2) + 3(-x^2 + 2x) + 3.5(x^2 - x) = x^2 + x + 1.
שלב 6: נציב x = 1.5: P2(1.5) = (1.5)^2 + 1.5 + 1 = 2.25 + 1.5 + 1 = 4.75.
תרגיל 2
רמת קושי: בסיסיחיישן טמפרטורה מפיק מתח V בהתאם לטמפרטורה T. בניסוי נמדדו שלוש נקודות: (100 מעלות, 1.2 וולט), (200 מעלות, 2.5 וולט), (300 מעלות, 4.0 וולט). מצאו את פולינום האינטרפולציה הריבועי המנבא את המתח לכל טמפרטורה T:
שלב 1: נשתמש בטרנספורמציה x = (T - 100)/100 כדי לפשט חישובים: עבור T=100 מתקבל x=0, עבור T=200 מתקבל x=1, ועבור T=300 מתקבל x=2.
שלב 2: הנקודות המנורמלות הן (0, 1.2), (1, 2.5), (2, 4.0).
שלב 3: נבנה פולינום ריבועי: V(x) = a x^2 + b x + c. ב-x=0 מתקבל c = 1.2.
שלב 4: ב-x=1: a + b + 1.2 = 2.5 => a + b = 1.3.
שלב 5: ב-x=2: 4a + 2b + 1.2 = 4.0 => 4a + 2b = 2.8 => 2a + b = 1.4.
שלב 6: נחסר: a = 1.4 - 1.3 = 0.1, ולכן b = 1.2. מתקבל V(x) = 0.1 x^2 + 1.2 x + 1.2 וולט.