התמרת פורייה וספקטרום תדרים

📖 BOOK • 9 עמודים/חלקים • מאת: פניאל מרגליות

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

פרק 2 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

בפרק זה נעמיק בלימוד התמרת פורייה וספקטרום תדרים, תוך פיתוח אינטואיציה פיזיקלית והנדסית לצד כלים חישוביים מתקדמים לפתרון בעיות מעשיות.

מטרות למידה מרכזיות:

1. מבוא, אינטואיציה ועקרונות יסוד: המעבר מטורים להטמרה רציפה

רעיון מרכזי מהות התמרת פורייה ומדוע היא עמוד התווך של ניתוח מערכות הנדסיות

כאשר אנו מנתחים אותות לא-מחזוריים – כגון פולס רדאר בודד, גל קול חולף, או תגובת הלם של מבנה מכני לרעידת אדמה – טורי פורייה אינם מספיקים, מכיוון שהאות אינו חוזר על עצמו. הרעיון המבריק של פורייה היה להשאיף את זמן המחזור ל $\infty (T to$ אינסוף). במעבר גבול זה, המרווח בין התדרים הבדידים שואף לאפס, והספקטרום הבדיד הופך לצפיפות ספקטרלית רציפה. התמרת פורייה מעבירה אות ממרחב הזמן למרחב התדר:

F (ω) = ℱ {f (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t, f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{i ω t} d ω

התמרה זו מהווה כלי אולטימטיבי בהנדסה משום שהיא ממירה פעולות מסובכות בזמן (כגון גזירה ואינטגרציה) לפעולות אלגבריות פשוטות בתדר (הכפלה ב- $i\omega$ ). מעבר לכך, פעולת הקונבולוציה בזמן – המתארת את תגובת כל מערכת לינארית קבועה בזמן $(LTI) –$ הופכת להכפלה ישירה של תגובת התדר $H(\omega )$ בספקטרום הכניסה $X(\omega )$ .

בפרק זה נלמד לחשב התמרות של אותות יסוד, נשתמש בתכונות הזזה, שינוי קנה מידה וגזירה, נשלוט במשפט הקונבולוציה, וננתח את משפט פלנשרל לשימור אנרגיה ויחסי אי-ודאות זמן-תדר.

2. תכונות יסוד, התמרות קלאסיות וגאוסיינים

התמרת פולס מלבני מייצרת פונקציית $sinc$ , בעוד גאוסיאן במרחב הזמן מותמר לגאוסיאן במרחב התדר. נפתח תכונות לינאריות, דואליות והזזות.

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתון הפולס המלבני הסימטרי $f(t) = 1$ עבור $|t| < a$ ו-0 עבור $|t| > a$ . חשבו את התמרת פורייה $F(\omega )$ והביעו אותה באמצעות פונקציית $\text{sinc}$ .

פתרון מודרך

שלב 1: הצבה בהגדרת ההתמרה:

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = \int_{- a}^{a} 1 \cdot e^{- i ω t} d t

שלב 2: אינטגרציה:

F (ω) = {[- \frac{e^{- i ω t}}{i ω}]}_{- a}^{a} = \frac{e^{i ω a} - e^{- i ω a}}{i ω} = \frac{2 \sin (a ω)}{ω}

שלב 3: כתיבה באמצעות פונקציית $sinc$ מנורמלת הנדסית $\text{sinc}(x) = (\sin(x))/(x)$ :

F (ω) = 2 a \frac{\sin (a ω)}{a ω} = 2 a sinc (a ω)

תשובה סופית:

F (ω) = \frac{2 \sin (a ω)}{ω} = 2 a sinc (a ω)

תרגיל 2

רמת קושי: בסיסי

עבור קבוע $a > 0$ , מצאו את התמרת פורייה של $f(t) = e^{-at} u(t) ($ כאשר $u(t)$ היא פונקציית מדרגת היביסייד), וחשבו את ספקטרום האמפליטודה $|F(\omega )|$ והפאזה $arg(F(\omega ))$ .

פתרון מודרך

שלב 1: חישוב ה $\int$ מ-0 עד אינסוף:

F (ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- a t} e^{- i ω t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- (a + i ω) t} d t = {[- \frac{e^{- (a + i ω) t}}{a + i ω}]}_{0}^{\infty}

מאחר ש- $a > 0$ , הגבול באינסוף שואף לאפס, ומתקבל:

F (ω) = \frac{1}{a + i ω}

שלב 2: אמפליטודה ופאזה:

| F (ω) | = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}

\arg (F (ω)) = - \arctan (\frac{ω}{a})

תשובה סופית:

F (ω) = \frac{1}{a + i ω}, | F (ω) | = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}, \arg (F) = - \arctan (ω / a)

🔒

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

התחברות לחשבון מנוי ←

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

התמרת פורייה וספקטרום תדרים

מטרות למידה מרכזיות:

1. מבוא, אינטואיציה ועקרונות יסוד: המעבר מטורים להטמרה רציפה

2. תכונות יסוד, התמרות קלאסיות וגאוסיינים

תרגיל 1

תרגיל 2

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

🗺️ שלבי הקורס והתקדמות

📚 חומרי לימוד