טורי פורייה ותופעת גיבס

📖 BOOK • 12 עמודים/חלקים • מאת: פניאל מרגליות

טורי פורייה ותופעת גיבס

פרק 1 - למידה מודרכת ותרגול מעמיק

בפרק זה נעמיק בלימוד טורי פורייה ותופעת גיבס, תוך פיתוח אינטואיציה פיזיקלית והנדסית לצד כלים חישוביים מתקדמים לפתרון בעיות מעשיות.

מטרות למידה מרכזיות:

1. מבוא פיזיקלי-מתמטי: פירוק הרמוני, תנאי דיריכלה ותופעת גיבס

רעיון מרכזי מהות הפירוק ההרמוני ומדוע טורי פורייה חיוניים בהנדסה

בניתוח מערכות הנדסיות – החל במעגלים חשמליים תחת עירור מחזורי, דרך תנודות מכניות של גשרים וכלי טיס, ועד הולכת חום גלית – הפירוק להרמוניות טהורות מהווה את עמוד התווך של הניתוח הלינארי. ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה גילה שכל פונקציה מחזורית בעלת תכונות התנהגות סבירות ניתנת להצגה כ $\sum$ אינסופי של רכיבי סינוס וקוסינוס בעלי תדרים שהם כפולות שלמות של התדר היסודי.

f (x) ~ \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (\frac{n π x}{L}) + b_{n} \sin (\frac{n π x}{L})]

תנאי דיריכלה $(Dirichlet Conditions)$ מבטיחים שהטור מתכנס נקודתית לערך הפונקציה בכל נקודת רציפות, ולממוצע האריתמטי של הגבולות החד-צדדיים בכל נקודת אי-רציפות מסוג קפיצה. בנקודות אלו מופיעה תופעת גיבס $(Gibbs Phenomenon)$ : סכומי פורייה החלקיים מפתחים תנודות יתר $(overshoot)$ ששיאן שואף לקבוע של כ-8.95% מגובה הקפיצה, שאינו דועך עם הגדלת מספר האיברים.

בפרק זה נבסס את חישוב המקדמים באמצעות תכונת האורתוגונליות, ננצל שיקולי זוגיות ואי-זוגיות לפישוט החישוב, ננתח את קצב דעיכת המקדמים כפונקציה של גזירות האות, ונחשב סכומי טורים מספריים קלאסיים בעזרת משפט דיריכלה וזהות פרסבל.

2. חישוב מקדמי פורייה ואורתוגונליות של מערכות טריגונומטריות

המערכת ${1, \cos(n*pi*x/L), \sin(n*pi*x/L)}$ היא אורתוגונלית בקטע $[-L, L]$ . מכאן נובעות נוסחאות אוילר-פורייה עבור המקדמים $a_0, a_n, b_n$ .

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתונה הפונקציה המחזורית בעלת מחזור $T = 2\pi$ המוגדרת בקטע $[-\pi, \pi]$ על ידי:

f (x) = {\begin{matrix} - 1, & - π < x < 0 \\ 1, & 0 < x < π \end{matrix}

חשבו את מקדמי פורייה של הפונקציה, רשמו את טור פורייה הטריגונומטרי, והסיקו בעזרת משפט דיריכלה בנקודה $x = \pi/2$ את ערך הטור המפורסם של לייבניץ עבור $\pi$ .

פתרון מודרך

שלב 1: בדיקת זוגיות. הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית בקטע $[-\pi, \pi]$ , שכן $f(-x) = -f(x)$ . לפיכך מתקיים מיידית $a_0 = 0$ וכן $a_n = 0$ לכל $n \ge 1$ .

שלב 2: חישוב המקדמים $b_n$ :

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin (n x) d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} 1 \cdot \sin (n x) d x = \frac{2}{π} {[- \frac{\cos (n x)}{n}]}_{0}^{π} = \frac{2}{n π} (1 - (- 1)^{n})

עבור $n$ זוגי $, a_n = 0$ . עבור $n = 2k-1$ אי-זוגי $, a_{2k-1} = -(4)/(\pi(2k-1)^2)$ .

שלב 3: טור פורייה הוא:

f (x) ~ \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin ((2 k - 1) x)}{2 k - 1}

שלב 4: הצבה $x = \pi/2$ . בנקודה זו $f$ רציפה וערכה 1. כמו כן $\sin((2k-1)\pi/2) = (-1)^{k-1}$ . מתקבל:

1 = \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{2 k - 1} ⟹ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{2 k - 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}

תשובה סופית:

b_{2 k - 1} = \frac{4}{(2 k - 1) π}, b_{2 k} = 0, \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{2 k - 1} = \frac{π}{4}

🔒

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

התחברות לחשבון מנוי ←

טורי פורייה ותופעת גיבס

טורי פורייה ותופעת גיבס

מטרות למידה מרכזיות:

1. מבוא פיזיקלי-מתמטי: פירוק הרמוני, תנאי דיריכלה ותופעת גיבס

2. חישוב מקדמי פורייה ואורתוגונליות של מערכות טריגונומטריות

תרגיל 1

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

🗺️ שלבי הקורס והתקדמות

📚 חומרי לימוד