הסתברות מותנית, אי-תלות ומשפט בייס

📖 BOOK • 11 עמודים/חלקים • מאת: פניאל מרגליות

הסתברות מותנית, אי-תלות ומשפט בייס

פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק

בעולם המעשה, לעולם איננו מקבלים החלטות בוואקום: מידע חדש מגיע אלינו ללא הרף ומעדכן את הערכת הסיכויים שלנו. אם בדיקת תוכנה גילתה אנומליה, מהי ההסתברות שישנו באג קריטי במערכת? אם רדאר זיהה הד חלש, מהי ההסתברות שאכן מדובר בכלי טיס ולא בלהקת ציפורים? הסתברות מותנית היא הכלי המתמטי המדויק לחישוב סיכוי בהינתן ידע מוקדם או תוצאת ביניים. פרק זה מפתח את חוקי ההסתברות המותנית, מבהיר את ההבדל העמוק בין זרות לאי-תלות, ומוביל אותנו אל אחד המשפטים החשובים ביותר במדע המודרני ובבינה מלאכותית: משפט בייס.

מטרות למידה מרכזיות:

חישוב הסתברות מותנית ושימוש בכלל המכפלה להתרחשות סדרת מאורעות
בדיקת אי-תלות סטטיסטית והבחנה בין אי-תלות זוגית לאי-תלות הדדית מלאה
יישום נוסחת ההסתברות השלמה על חלוקות של מרחב המדגם
שימוש במשפט בייס לעדכון הסתברויות א-פוסטריוריות באבחון רפואי, זיהוי כשלים וערוצי תקשורת

הסתברות מותנית וכלל המכפלה

רעיון מרכזי הגדרת ההסתברות המותנית כצמצום מרחב המדגם

כאשר ידוע שמאורע $B$ התרחש (בהנחה ש- $P(B) > 0)$ , מרחב המדגם האפקטיבי מצטמצם לקבוצה $B$ בלבד. ההסתברות שמאורע $A$ מתרחש בהינתן $B$ , המסומנת $P(A|B)$ , שווה ליחס בין הסתברות החיתוך להסתברות תנאי הרקע $B$ .

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

רעיון מרכזי כלל המכפלה לחישוב חיתוך מאורעות עוקבים

מהגדרת ההסתברות המותנית נובע כלל המכפלה: ההסתברות ששני מאורעות יתרחשו יחד שווה להסתברות של הראשון כפול ההסתברות המותנית של השני בהינתן הראשון. כלל זה מתרחב באופן טבעי לשרשרת של מאורעות מרובים.

P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

מטילים שתי קוביות הוגנות. ידוע ש $\sum$ התוצאות הוא לפחות 10. מהי ההסתברות ששתי הקוביות הראו תוצאה זהה?

פתרון מודרך

שלב 1: נגדיר את תנאי הרקע $B: \sum$ התוצאות הוא לפחות 10 (כלומר 10, 11 או 12). הזוגות המתאימים הם: $(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)$ . בסך הכול 6 תוצאות.

B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}, | B | = 6

שלב 2: נגדיר את המאורע $A$ : תוצאה זהה בשתי הקוביות. החיתוך $A$ חיתוך $B$ מכיל את הזוגות מתוך $B$ שבהם המספרים שווים: $(5,5)$ ו- $(6,6)$ . בסך הכול 2 תוצאות.

שלב 3: ההסתברות המותנית: 2 חלקי $6 = \frac{1}{3}$ .

P (A ∣ B) = \frac{| A \cap B |}{| B |} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

הסתברות לתוצאה זהה בהינתן סכום של לפחות 10:

\frac{1}{3}

תרגיל 2

רמת קושי: בסיסי

נתון כי $P(A) = 0.4, P(B) = 0.5$ , ו- $P(A$ חיתוך $B) = 0.2$ . חשבו את ההסתברות המותנית $P(B$ בהינתן $A)$ ואת $P(A$ בהינתן $B)$ .

פתרון מודרך

לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

P (B ∣ A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4

ההסתברויות המותניות:

P (B ∣ A) = 0.5, P (A ∣ B) = 0.4

תרגיל 3

רמת קושי: בסיסי

הדרכה צעד-אחר-צעד: בכד יש 4 כדורים כחולים ו-6 כדורים ירוקים. מוציאים 2 כדורים ברצף ללא החזרה. בעזרת כלל המכפלה, חשבו את ההסתברות ששני הכדורים יהיו כחולים.

פתרון מודרך

שלב 1: נגדיר $A_1$ : הכדור הראשון כחול $. P(A_1) = \frac{4}{10}$ .

שלב 2: נגדיר $A_2$ : הכדור השני כחול. בהינתן שהראשון כחול, נותרו בכד 9 כדורים ומתוכם 3 כחולים: $P(A_2 | A_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

שלב 3: לפי כלל המכפלה:

P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2} ∣ A_{1}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}

הסתברות לשני כדורים כחולים:

\frac{2}{15}

🔒

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

התחברות לחשבון מנוי ←

הסתברות מותנית, אי-תלות ומשפט בייס

הסתברות מותנית, אי-תלות ומשפט בייס

מטרות למידה מרכזיות:

הסתברות מותנית וכלל המכפלה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

המשך חומר הלימוד זמין למנויים

🗺️ שלבי הקורס והתקדמות

📚 חומרי לימוד