משוואות, פירוק לגורמים ושברים אלגבריים

חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 14) מאת: פניאל מרגליות

משוואות, פירוק לגורמים ושברים אלגבריים

משוואות ואי-שוויונות לינאריים, נוסחאות כפל מקוצר, שברים אלגבריים ומשוואות רציונליות

תוכן עניינים ומבנה המארז

פרק 1: משוואות ואי-שוויונות לינאריים בשלבים, ומשוואות עם שברים
- 1. משוואות לינאריות רב-שלביות עם סוגריים וכינוס איברים
- 2. משוואות לינאריות עם שברים בעלי מכנה מספרי
- 3. אי-שוויונות לינאריים והיפוך סימן
- 4. משוואות מיוחדות: אינסוף פתרונות ואף פתרון
פרק 2: פירוק לגורמים ונוסחאות כפל מקוצר
- 1. אינטואיציה והוצאת גורם משותף
- 2. נוסחאות כפל מקוצר – הפרש ריבועים וריבוע של סכום והפרש
- 3. פירוק טרינום מרובע פשוט
- 4. סיכום והכנה לשברים אלגבריים
פרק 3: שברים אלגבריים: צמצום, פעולות חשבון ותחום הצבה
- 1. אינטואיציה, מוטיבציה ותחום הצבה
- 2. צמצום שברים אלגבריים באמצעות פירוק לגורמים
- 3. כפל, חילוק ומכנה משותף בשברים אלגבריים
- 4. משוואות עם שברים אלגבריים ובדיקת תחום הצבה

איפה אנחנו ברצף הלמידה?

פרק זה מתמקד ב-משוואות ואי-שוויונות לינאריים בשלבים, ומשוואות עם שברים. הנושאים והכלים הנרכשים כאן מהווים נדבך הכרחי לבניית השליטה הנדרשת לבחינת הבגרות.

1. משוואות לינאריות רב-שלביות עם סוגריים וכינוס איברים

רעיון מרכזי עקרון הפתרון בשלבים מובנים

משוואות רב-שלביות הן משוואות שבהן המשתנה מופיע יותר מפעם אחת, לעיתים בתוך סוגריים או בשני האגפים. כדי לפתור אותן בצורה בטוחה וללא שגיאות, אנו פועלים לפי סדר שלבים קבוע:

שלב ראשון: פותחים סוגריים באמצעות חוק הפילוג.

שלב שני: מכנסים איברים דומים בכל אגף בנפרד.

שלב שלישי: מעבירים את כל האיברים המכילים את המשתנה לאגף אחד, ואת כל המספרים החופשיים לאגף השני.

שלב רביעי: מחלקים במקדם של המשתנה כדי לקבל את הפתרון המפורש.

3 (x + 2) + 2 x = 21 ⟹ 3 x + 6 + 2 x = 21 ⟹ 5 x = 15 ⟹ x = 3

תרגיל 1: פתרון משוואה עם סוגריים וכינוס איברים

רמת קושי: בסיסי

פתרו את המשוואה הבאה ומצאו את ערכו של איקס:

4 (x - 2) + 3 x = 13

פתרון מודרך מלא ומפורט

שלב ראשון: נפתח סוגריים לפי חוק הפילוג: ארבע כפול איקס שווה ארבעה איקס, וארבע כפול מינוס שתיים שווה מינוס שמונה.

4 x - 8 + 3 x = 13

שלב שני: נכנס איברים דומים באגף שמאל: ארבעה איקס ועוד שלושה איקס שווה שבעה איקס.

7 x - 8 = 13

שלב שלישי: נוסיף שמונה לשני האגפים: שבעה איקס שווה עשרים ואחת. נחלק בשבע: איקס שווה שלוש.

7 x = 21 ⟹ x = 3

פתרון המשוואה הוא:

x = 3

תרגיל 2: פתרון משוואה עם משתנים בשני האגפים

רמת קושי: בסיסי

פתרו את המשוואה הבאה:

5 x - 7 = 2 x + 11

פתרון מודרך מלא ומפורט

שלב ראשון: נרכז את כל האיברים המכילים איקס באגף שמאל על ידי חיסור שני איקס משני האגפים.

5 x - 2 x - 7 = 11 ⟹ 3 x - 7 = 11

שלב שני: נוסיף שבע לשני האגפים: שלושה איקס שווה שמונה עשרה. נחלק בשלוש: איקס שווה שש.

3 x = 18 ⟹ x = 6

הפתרון הוא x:

x = 6

תרגיל 3: משוואה עם סוגריים בשני האגפים

רמת קושי: בסיסי

פתרו את המשוואה:

3 (x + 4) = 2 (x + 9)

פתרון מודרך מלא ומפורט

שלב ראשון: נפתח סוגריים בשני האגפים: שלושה איקס ועוד שתים עשרה שווה שני איקס ועוד שמונה עשרה.

3 x + 12 = 2 x + 18

שלב שני: נחסר שני איקס ונחסר שתים עשרה משני האגפים: איקס שווה שש.

3 x - 2 x = 18 - 12 ⟹ x = 6

הפתרון הוא x:

x = 6

תרגיל 4: בעיה מילולית: השוואת תוכניות תשלום

רמת קושי: בינוני

חברת אינטרנט א מציעה תשלום חודשי קבוע של ארבעים שקלים ועוד שני שקלים לכל ג'יגה איקס. חברה ב מציעה תשלום קבוע של שישים שקלים ועוד שקל אחד לכל ג'יגה איקס. עבור כמה ג'יגה תהיה העלות בשתי החברות שווה בדיוק?

2 x + 40 = x + 60

פתרון מודרך מלא ומפורט

שלב ראשון: נבנה משוואה המבטאת את השוויון בין שתי החברות: שני איקס ועוד ארבעים שווה איקס ועוד שישים.

שלב שני: נחסר איקס ונחסר ארבעים משני האגפים: איקס שווה עשרים.

2 x - x = 60 - 40 ⟹ x = 20

המחיר המבוקש הוא:

x = 20 ג'יגה

2. משוואות לינאריות עם שברים בעלי מכנה מספרי

רעיון מרכזי סילוק מכנים באמצעות מכנה משותף

כאשר משוואה מכילה שברים בעלי מכנים מספריים, השיטה היעילה והנוחה ביותר היא הכפלת כל אגפי המשוואה במכנה המשותף המינימלי של כל המספרים המופיעים במכנים.

פעולה זו מבטלת את כל קווי השבר והופכת את המשוואה למשוואה פשוטה במספרים שלמים בלבד:

\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7 / \cdot 12 ⟹ 4 x + 3 x = 84 ⟹ 7 x = 84 ⟹ x = 12

חשוב לזכור: יש לכפול כל איבר ואיבר במשוואה, כולל איברים חופשיים שאינם כתובים כשבר.

תרגיל 5: פתרון משוואה עם מכנה מספרי יחיד

רמת קושי: בסיסי

פתרו את המשוואה הבאה על ידי סילוק המכנה:

\frac{2 x - 3}{5} = 3

פתרון מודרך מלא ומפורט

שלב ראשון: נכפול את שני אגפי המשוואה בחמש כדי לבטל את המכנה:

2 x - 3 = 3 \cdot 5 = 15

שלב שני: נוסיף שלוש לשני האגפים: שני איקס שווה שמונה עשרה. נחלק בשתיים: איקס שווה תשע.

2 x = 18 ⟹ x = 9

הפתרון הוא x:

x = 9

🔒

המשך צפייה למנויי LimoodAi

רכישת מנוי LimoodAi התחבר לחשבון

משוואות, פירוק לגורמים ושברים אלגבריים

משוואות ואי-שוויונות לינאריים בשלבים, ומשוואות עם שברים

המשך צפייה למנויי LimoodAi

📚 תכנים נוספים בקורס זה

יסודות האריתמטיקה, שברים, חזקות ושפת האלגברה

מערכת צירים, פונקציה קווית, משוואות ופונקציות ריבועיות

גיאומטריה דדוקטיבית: הוכחה, חפיפה, מרובעים ודמיון

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?