חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 17) מאת: פניאל מרגליות

גבולות של פונקציות ורציפות

אינטואיציה, טכניקות חישוב אלגבריות, מיון אי-רציפויות ומשפטים יסודיים

גבולות של פונקציות ורציפות

אינטואיציה, טכניקות חישוב אלגבריות, מיון אי-רציפויות ומשפטים יסודיים

מושג הגבול הוא אבן הראשה שעליה נשען כל החשבון האינפיניטסימלי. בעולם הפיזיקלי וההנדסי, מרבית התופעות מתוארות לא על ידי ערכים בדידים, אלא באמצעות תהליכי התקרבות, קצבי שינוי מקומיים ושאיפה לאינסוף. בחוברת יסוד זו נפתח את הכלים הריגורוזיים והאלגבריים לחקירת פונקציות בקרבת נקודות סינגולריות, ונבסס את מושג הרציפות המוביל ישירות אל הנגזרת והאינטגרל.

מטרות למידה מרכזיות:

הבנת המושג האינטואיטיבי של גבול ומשמעות גבולות חד-צדדיים גרפית ואנליטית
שליטה מלאה בטכניקות אלגבריות לחישוב גבולות במצבי אי-ודאות (0/0 ואינסוף חלקי אינסוף)
יישום טכניקות של פירוק לגורמים, כפל בצמוד וחילוק פולינומים
חישוב גבולות באינסוף ואיתור אסימפטוטות אופקיות ואנכיות
שימוש בגבול הטריגונומטרי המיוחד sin(x)/x וזהויות טריגונומטריות נלוות
שימוש במשפט הסנדוויץ' לחישוב גבולות של ביטויים חסומים ומתנודדים
הגדרת רציפות בנקודה ובקטע ובדיקת שלושת תנאי הרציפות
מיון מדויק של נקודות אי-רציפות: סליקה, קפיצה ואי-רציפות עיקרית
מציאת פרמטרים להבטחת רציפות של פונקציות מפוצלות
יישום משפט ערך הביניים (בולצאנו) להוכחת קיום פתרונות ומשפט ויירשטראס

1. אינטואיציה וגבולות חד-צדדיים

מבוא: מהו גבול של פונקציה?

כאשר אנו מביטים במד מהירות של רכב, אנו רואים את מהירות הנסיעה ברגע מסוים. אך מבחינה פיזיקלית ומתמטית, מהירות מוגדרת כמרחק חלקי זמן. אם נמדוד את המרחק שהרכב עבר בפרק זמן קצר, נקבל מהירות ממוצעת. ככל שמרווח הזמן מתקצר ושואף לאפס, המהירות הממוצעת הולכת ומתקרבת לערך קבוע מסוים — זהו קצב השינוי הרגעי. מושג הגבול מעניק מסגרת מדויקת לתהליך התקרבות זה, ומאפשר לחקור לאיזה ערך הפונקציה שואפת בסביבת הנקודה מבלי להידרש לחלוקה באפס.

הרעיון המרכזי של הגבול איננו מה קורה בנקודה עצמה, אלא כיצד הפונקציה מתנהגת בסביבה הקרובה שלה. נסמן זאת כך:

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L

משמעות השוויון היא שככל שערכי x מתקרבים לערך הנתון, כך ערכי הפונקציה מתקרבים לגבול L כרצוננו.

הגדרה גבולות חד-צדדיים (One-Sided Limits)

במקרים רבים ההתנהגות של הפונקציה מימין לנקודה שונה לחלוטין מההתנהגות משמאל לה. לשם כך אנו מגדירים גבול מימין וגבול משמאל:

גבול מימין: כאשר x שואף לנקודה מערכים הגדולים ממנה:

{lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L_{1}

גבול משמאל: כאשר x שואף לנקודה מערכים הקטנים ממנה:

{lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L_{2}

איור 1: פונקציה מפוצלת עם אי-רציפות מסוג קפיצה. הגבול משמאל שווה ל-1 והגבול מימין שווה ל-3.

משפט משפט קיום הגבול הדו-צדדי

הגבול הדו-צדדי קיים ושווה למספר סופי L אם ורק אם שני הגבולות החד-צדדיים קיימים, סופיים ושווים זה לזה:

\begin{matrix} {lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L ⟺ & {lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L \\ וגם & {lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L \end{matrix}

אם אחד הגבולות החד-צדדיים אינו קיים, או אם שניהם קיימים אך אינם שווים, אזי הגבול הדו-צדדי אינו קיים.

דוגמה פתורה בדיקת קיום גבול בפונקציה מפוצלת

נתונה הפונקציה המפוצלת הבאה:

f (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1 & x < 1 \\ 5 - x & x \geq 1 \end{matrix}

קבעו האם קיים הגבול של הפונקציה כאשר x שואף ל-1.

מהלך הפתרון

איך מזהים? הנקודה x = 1 היא נקודת הפיצול של הפונקציה. לכן עלינו לחשב בנפרד את הגבול משמאל ואת הגבול מימין.

שלב 1: חישוב הגבול משמאל. עבור ערכי x הקטנים מ-1 נשתמש בענף הראשון:

\begin{matrix} {lim}_{x \to 1^{-}} f (x) & = {lim}_{x \to 1^{-}} (2 x + 1) \\ = 2 (1) + 1 = 3 \end{matrix}

שלב 2: חישוב הגבול מימין. עבור ערכי x הגדולים מ-1 נשתמש בענף השני:

\begin{matrix} {lim}_{x \to 1^{+}} f (x) & = {lim}_{x \to 1^{+}} (5 - x) \\ = 5 - 1 = 4 \end{matrix}

מסקנה: הגבול משמאל שווה ל-3 והגבול מימין שווה ל-4. מכיוון שהגבולות החד-צדדיים אינם שווים:

{lim}_{x \to 1^{-}} f (x) \neq {lim}_{x \to 1^{+}} f (x)

הגבול הדו-צדדי אינו קיים בנקודה זו.

🔒

המשך צפייה למנויי LimoodAi

רכישת מנוי LimoodAi התחבר לחשבון