חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 8) מאת: פניאל מרגליות

משוואת הגלים ונוסחת ד'אלמבר

פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק

משויך לקורסים: משוואות דיפרנציאליות חלקיות — הנדסת חשמל / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות חלקיות — הנדסת מכונות / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות חלקיות — הנדסה כימית / אוניברסיטה משוואות דיפרנציאליות חלקיות — הנדסת בניין / אוניברסיטה

משוואת הגלים ונוסחת ד'אלמבר

פרק 2 — למידה מודרכת ותרגול מעמיק

משוואת הגלים החד-ממדית utt = c^2 uxx עומדת בבסיס הפיזיקה של תנודות מיתר, התפשטות גלי קול בצינורות, פולסים חשמליים בקווי תמסורת, וקרינה אלקטרומגנטית. ייחודה המופלא של המשוואה נעוץ בעובדה שז'אן לה רון ד'אלמבר גילה בשנת 1747 פתרון אנליטי סגור ויפהפה לבעיית ההתחלה על מיתר אינסופי — ללא צורך בפיתוח לטורים אינסופיים! נוסחת ד'אלמבר מגלה כי כל גל מורכב משני רכיבים עצמאיים: גל הנע ימינה במהירות c וגל הנע שמאלה במהירות c. בפרק זה נלמד לגזור את נוסחת ד'אלמבר, לחקור את תחום התלות (Domain of Dependence) וטווח ההשפעה (Range of Influence), ולטפל במיתרים חצי-אינסופיים וסופיים באמצעות שיטת השיקוף והמשכות זוגיות ואי-זוגיות.

מטרות למידה מרכזיות:

גזירת נוסחת ד'אלמבר לפתרון בעיית קושי על מיתר אינסופי בעזרת קואורדינטות מאפיינות
חישוב פרופיל הגל u(x,t) עבור תנאי העתקה התחלתית f(x) ומהירות התחלתית g(x)
ניתוח גאומטרי של תחום התלות, תחום ההשפעה ומשולשי מאפיינים במישור הזמן-מרחב (x,t)
פתרון בעיות על מיתר חצי-אינסופי עם קצה קבוע (תנאי דיריכלה) באמצעות המשכה אי-זוגית
פתרון בעיות על מיתר חצי-אינסופי עם קצה חופשי (תנאי נוימן) באמצעות המשכה זוגית
שימור אנרגיה של מיתר רוטט והוכחת יחידות הפתרון באמצעות שיטת האנרגיה

1. בעיית קושי על המיתר האינסופי ונוסחת ד'אלמבר

רעיון מרכזי נוסחת ד'אלמבר והמשמעות הפיזיקלית

בעיית קושי עבור מיתר אינסופי מנוסחת כבעיית ערכי התחלה:

u_{t t} = c^{2} u_{x x}, - \infty < x < \infty, t > 0

u (x, 0) = f (x), u_{t} (x, 0) = g (x)

הפתרון היחיד נתון על ידי נוסחת ד'אלמבר המפורסמת:

u (x, t) = \frac{f (x - c t) + f (x + c t)}{2} + \frac{1}{2 c} \int_{x - c t}^{x + c t} g (s) d s

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתון מיתר אינסופי שבו מהירות הגל היא $c = 2$ . המיתר משוחרר ממנוחה $(g(x) = 0)$ עם העתקה התחלתית בצורת פולס גאוסיאני:

f (x) = e^{- x^{2}}, g (x) = 0

1. רשמו את פתרון ד'אלמבר $u(x,t)$ . 2. חשבו במפורש את העתקת המיתר בראשית הצירים $x = 0$ כפונקציה של הזמן $t$ . 3. תארו כיצד הפולס מתפצל לשני חצאי-פולסים הנעים בכיוונים מנוגדים.

פתרון מודרך

שלב 1: הצבה ישירה בנוסחת ד'אלמבר: כאשר $g(x) = 0$ , ה $\int$ מתאפס זהותית:

u (x, t) = \frac{f (x - c t) + f (x + c t)}{2}

הצבת $c = 2$ ו- $f(x) = e^{-x^2}$ נותנת:

u (x, t) = \frac{1}{2} (e^{- (x - 2 t)^{2}} + e^{- (x + 2 t)^{2}})

שלב 2: העתקת הראשית $x = 0$ כפונקציה של הזמן:

u (0, t) = \frac{1}{2} (e^{- (- 2 t)^{2}} + e^{- (2 t)^{2}}) = \frac{1}{2} (2 e^{- 4 t^{2}}) = e^{- 4 t^{2}}

שלב 3: ניתוח גאומטרי: ברגע $t = 0$ , הפולס המרכזי שגובהו 1 מתפצל לשני פולסים עצמאיים זהים, כל אחד בגובה $\frac{1}{2}$ . פולס אחד נע ימינה במהירות 2 ומרכזו ב- $x = 2t$ , והפולס השני נע שמאלה במהירות 2 ומרכזו ב- $x = -2t$ .

תשובה סופית:

u (x, t) = \frac{1}{2} (e^{- (x - 2 t)^{2}} + e^{- (x + 2 t)^{2}}), u (0, t) = e^{- 4 t^{2}}

🔒

המשך צפייה למנויי LimoodAi

רכישת מנוי LimoodAi התחבר לחשבון

משוואת הגלים ונוסחת ד'אלמבר

המשך צפייה למנויי LimoodAi

📚 תכנים נוספים בקורס זה

מיון משוואות וצורות קנוניות

משוואת החום ועקרון המקסימום

משוואת לפלס ומשוואת פואסון

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?