חוברת לימוד תצוגה מקדימה (תצוגה מקדימה: חלקים 1 עד 2 מתוך 10) מאת: פניאל מרגליות

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

מערכת צירים R³, אלגברה של וקטורים, מכפלות סקלרית ווקטורית, ישרים ומישורים

משויך לקורסים: חדו״א 2 — הנדסת חשמל / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסת מכונות / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסה כימית / אוניברסיטה חדו״א 2 — הנדסת בניין / אוניברסיטה

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

מערכת צירים R³, אלגברה של וקטורים, מכפלות סקלרית ווקטורית, ישרים ומישורים

מטרות למידה מרכזיות:

1. המרחב התלת-ממדי R³ ומערכת הצירים הקרטזית

ברוכים הבאים לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2. בקורס זה אנו פורצים את גבולות הישר הממשי והמישור הדו-ממדי אל המרחב התלת-ממדי ומעבר לו. כל תופעה פיזיקלית והנדסית בעולם האמיתי — מזרימת נוזלים ושדות כבידה ועד לעיצוב מבנים ורובוטיקה — מתרחשת במרחב רב-ממדי. נקודת המוצא שלנו היא מערכת הצירים הקרטזית הימנית ב-R³.

רעיון מרכזי מערכת צירים ימנית ומרחק בין שתי נקודות במרחב

כל נקודה במרחב מאופיינת בשלשה סדורה של מספרים ממשיים (x, y, z). המרחק בין שתי נקודות P₁(x₁, y₁, z₁) ו-P₂(x₂, y₂, z₂) מתקבל מהכללת משפט פיתגורס למרחב התלת-ממדי:

d (P_{1}, P_{2}) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}

משוואת כדור בעל רדיוס R שמרכזו בנקודה (x₀, y₀, z₀) היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה ל-R:

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}

תרגיל 1

רמת קושי: בסיסי

נתונות הנקודות A(1, -2, 4) ו-B(4, 2, -8). מצאו את המרחק ביניהן, וכתבו את משוואת הכדור שקטע AB הוא קוטרו.

פתרון מודרך

שלב ראשון: חישוב המרחק באמצעות נוסחת המרחק האוקלידי:

d (A, B) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (2 - (- 2))^{2} + (- 8 - 4)^{2}}

= \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 12)^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144}

= \sqrt{169} = 13

שלב שני: מרכז הכדור M הוא אמצע הקטע AB:

M = (\frac{1 + 4}{2}, \frac{- 2 + 2}{2}, \frac{4 - 8}{2}) = (\frac{5}{2}, 0, - 2)

רדיוס הכדור הוא מחצית הקוטר: R = 13/2. משוואת הכדור:

{(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{169}{4}

מרחק ומשוואת הכדור:

d = 13, {(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{169}{4}

2. וקטורים גאומטריים ואלגבריים במרחב

וקטור במרחב מאופיין בגודל (אורך או נורמה) ובכיוון. מבחינה אלגברית, וקטור מוצג על ידי רכיביו u = (u₁, u₂, u₃) או בבסיס הסטנדרטי i, j, k. חיבור וקטורים וכפל בסקלר מוגדרים איבר-איבר.

𝐮 + 𝐯 = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, u_{3} + v_{3}), c 𝐮 = (c u_{1}, c u_{2}, c u_{3})

הנורמה האוקלידית (אורך הווקטור) מוגדרת על ידי:

‖ 𝐮 ‖ = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}}

תרגיל 2

רמת קושי: בסיסי

נתון הווקטור u = (2, -3, 6). חשבו את אורכו ומצאו וקטור יחידה בכיוונו ההפוך.

פתרון מודרך

נחשב את הנורמה:

‖ 𝐮 ‖ = \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7

וקטור יחידה בכיוונו ההפוך מתקבל מחלוקה בנורמה והכפלה ב-1-:

\hat{𝐯} = - \frac{𝐮}{‖ 𝐮 ‖} = (- \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, - \frac{6}{7})

נורמה ווקטור יחידה מנוגד:

‖ 𝐮 ‖ = 7, \hat{𝐯} = (- \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, - \frac{6}{7})

3. מכפלה סקלרית, היטלים וזוויות

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים u ו-v היא סקלר המוגדר בשתי דרכים שקולות — גאומטרית ואלגברית:

𝐮 \cdot 𝐯 = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ‖ 𝐮 ‖ ‖ 𝐯 ‖ \cos (θ)

🔒

המשך צפייה למנויי LimoodAi

רכישת מנוי LimoodAi התחבר לחשבון

יסודות המרחב התלת-ממדי, וקטורים וגאומטריה אנליטית

המשך צפייה למנויי LimoodAi

📚 תכנים נוספים בקורס זה

עקומות פרמטריות, וקטורי מהירות ועקמומיות

פונקציות של מספר משתנים, גבולות, רציפות ונגזרות חלקיות

דיפרנציאביליות, מישור משיק, כלל השרשרת ווקטור הגרדיאנט

מעדיפים ליווי אישי לצד מערכת הלמידה?